Translasi dengan geogebra

 PENDAHULUAN

Deskripsi

Dalam modul ini,  anda akan mempelajari transformasi yang terdiri atas refleksi, translasi, rotasi , dan dilatasi yang diidentifikasi berdasarkan ciri-cirinya.  Refleksi merupakan pencerminan. Dalam geometri bidang pencerminan terdiri dari pencerminan terhadap sumbu x, sumbu y, y = x, y = -x, x = m, y = n, tehadap titik pusat O. Translasi merupakan perpindahan. Rotasi merupakan perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat dan besar sudut. Titik pusat di O(0,0) dan di P(a,b), sedangkan untuk besar sudut positif berlawanan arah dengan arah jarum jam dan sebaliknya besar sudut negatif searah dengan arah jarum jam. Dilatasi merupakan transformasi yang merubah ukuran tetapi tidak merubah bentuk bangun. Dilatasi ditentukan oleh pusat dan faktor skala.

Prasyarat

Agar dapat mempelajari modul ini, anda harus mempelajari operasi bilangan real dan dasar-dasar trigonometri.

Petunjuk Penggunaan Modul

1.  Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga mempermudah dalam memahami  konsep transformasi geometri.

2.    Apabila ada soal  latihan,  kerjakanlah  soal-soal  tersebut  sebagai      latihan untuk persiapan evaluasi.

3.    Jawablah tes formatif dengan jelas sesuai dengan kemampuan Anda. Jika Anda  masih  ragu-ragu  dengan  jawaban  yang  Anda  peroleh,  Anda  bisa melihat kunci jawaban formatif yang sesuai.

4.    Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi.

Tujuan akhir

1.    Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang.

2.    Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi refleksi, dilatasi, dan rotasi.

3.    Menentukan persamaan matriks dari transformasi  pada bidang.

4.    Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi.

5.    Menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi  pada bidang.

PEMBELAJARAN

Kompetensi      

Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah.

Sub Kompetensi

1.  Mendefinisikan arti geometri dari suatu transformasi di bidang melalui pengamatan dan kajian pustaka

2.    Menentukan hasil transformasi geometri dari sebuah titik dan bangun

3. Menentukan operasi aljabar dari transformasi geometri dan mengubahnya ke dalam bentuk persamaan matriks.

4.    Menggunakan aplikasi geogebra sebagai media dalam geometri transformasi.

 

KEGIATAN BELAJAR

Apa itu transformasi

Transformasi merupakan proses perpindahan suatu titik atau garis atau bidang menjadi bayangan titik atau garis atau bidang tersebut. Jenis-jenis transformasi :

1.      Refleksi (pencerminan)

2.      Translasi (Perpindahan)

3.      Rotasi (perputaran)

4.      Dilatasi (perbesaran)

REFLEKSI

Tujuan Pembelajaran :

1.    Peserta didik dapat melalukan pencerminan menggunakan aplikasi geogebra secara terampil dan mandiri.

2.      Peserta didik dapat menentukan pencerminan dengan berbagai cermin yang diberikan.

Tutorial pencerminan dengan geogebra

1.    Buka aplikasi geogebra

2.    Bukalah file geogebra dan buatlag segitiga dengan tool polygon. Setelah itu buatlah garis lurus di samping segitiga ABC.

Cerminkan segitiga ABC kemudian klik DE menggunakan tool Reflect about a line

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Tampilkan kordinat dari titik-titik segitiga ABC maupun bayangannya.
Caranya klik kanan pada titik dan pilih Object-Properties kemudian pada tab Basic lakukan centang pada bagian Show Label dan pilih opsi Name & Value. Lakukan untuk semua titik pada segitiga maupun bayangannya.

Dalam geometri bidang, sebagai cermin digunakan beberapa garis yaitu:

a.    Sumbu x

b.    Sumbu y

c.    x = m

d.   y = n

e.    y = x

f.     y = -x

g.    Titik pusat O(0,0)

Di bawah ini akan dibahas beberapa pencerminan dari garis-garis diatas.

a.         Refleksi terhadap sumbu x

Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’, y’) = P’(x, -y)
sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :

Contoh :

1.    Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(2,0), B(0,-5) dan C(-3,1). Tentukan koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu x

     jawab :

2.    Bayangan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh refleksi terhadap sumbu x adalah

     Jawab :       

pencerminan terhadap sumbu X maka:

x = x’ dan y = -y’

disubstitusi ke kurva 3x – 2y + 5 = 0 

diperoleh: 3x’ – 2(-y’) + 5 = 0

3x’ + 2y’ + 5 = 0

Jadi bayangannya

adalah 3x + 2y + 5 = 0

pada aplikasi geogebra dapat dilihat seperti gambar di bawah ini:

2. Refleksi terhadap sumbu y

Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(-x,y), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :

Contoh :

1.    Tentukan bayangan kurva y = x² – x oleh pencerminan terhadap sumbu Y.

Jawab:

oleh pencerminan terhadap sumbu Y

maka: x’ = -x → x = -x’

      y’ = y → y = y’

x = -x’ dan y = y’  disubstitusi ke y = x² – x

diperoleh:   y’ = (-x’)² – (-x’)

y’ = (x’)² + x’ 

Jadi bayangannya adalah y = x² + x

3. Refleksi terhadap garis x = m

Berdasarkan gambar tersebut, jika bayangan titik P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(2m-x,y).

Contoh :

1.       Tentukan bayangan kurva x2 + y2 = 4 oleh pencerminan terhadap

    garis y = -3.

    Jawab:

     oleh pencerminan terhadap garis y = - 3  maka:

     x’ = x

     y’ = 2n - y 

     pencerminan terhadap garis y = - 3

      maka: x’ = x ® x = x’

           y’ = 2n – y

           y’ = 2(-3) – y

           y’ = - 6 – y ® y = -y’ – 6

disubstitusi ke x² + y² = 4

          (x’)² + (-y’ – 6)² = 4

          (x’)² +((-y’)² + 12y’ + 36) – 4 = 0

 Jadi bayangannya:

    X² + y² + 12y + 32 = 0

5. Refleksi terhadap garis y = x

Berdasarkan gambar diatas, jika bayangan P(x,y) adalah P’(x’,y’) maka P’(x’,y’) = P’(y,x), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :

d. Refleksi terhadap garis y= -x

f.                             P’(x’,y’) = P’(-y,-x), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :

Contoh :

1.  Bayangan persamaan lingkaran x² + y² - 8y + 7 = 0 yang dicerminkan terhadap garis y = -x adalah….

  Jawab :

  x’ = -y dan y’ = -x  atau  y = -x’ dan x = -y’

  Kemudian disubstitusikan ke

   x² + y² – 8y + 7 = 0

   (-y’)² + (-x)² – 8(-x) + 7 = 0

    (y’)² + (x’)² + 8x + 7 = 0

    (x’)² + (y’)² + 8x + 7 = 0

       Jadi bayangannya adalah

     x² + y² + 8x + 7 = 0
Untuk tutorial dapat dilihat pada video berikut ini!

Tugas 1

          1.  Diketahui titik A(2, -1), B(5, 3), dan C(-2, 4). Tentukan bayangan titik A, B, dan C, jika dicerminkan terhadap:

a.    sumbu x

b.    sumbu y

c.    garis x = 2

d.   garis y = -3

e.    garis y = x

f.     garis y = -x
2.  Diketahui persamaan garis 2x + 3y = 6. Tentukan bayangan garis tersebut jika
    dicerminkan terhadap sumbu y

    3.     Diketahui persamaan lingkaran x² + y² – 2x + 4y = 16. Tentukan bayangan lingkaran jika     dicerminkan terhadap garis y = x.